Aklınızla Oynayacak 5 Olasılık Bulmacası: Sezgileriniz Sizi Yanıltabilir!

Hayat olasılıklarla doludur. Hava durumundan piyango biletine, attığımız zardan girdiğimiz bir sınavın sonucuna kadar her yerde olasılık hesapları yaparız. Çoğu zaman sezgilerimiz bize doğru yolu gösterir. Ancak bazen, özellikle de işin içine “koşullu olasılık” girdiğinde, sezgilerimiz bizi fena halde yanıltabilir.

Koşullu olasılık, en basit tanımıyla, elimize geçen yeni bir bilginin bir olayın gerçekleşme ihtimalini nasıl değiştirdiğini inceler. Wall Street’in dev yatırım bankalarından Silikon Vadisi’nin teknoloji devlerine kadar birçok şirket, adayların analitik düşünme ve baskı altında mantık yürütme becerilerini ölçmek için bu tür bulmacaları mülakatlarında kullanır.

Bugün, beyninizi biraz esnetecek ve “kesin emindim” dediğiniz cevapları sorgulatacak 5 klasik olasılık bulmacasına dalacağız. Hazırsanız, başlayalım!

Soru 1: Monty Hall Problemi

Bu, belki de en ünlü olasılık bulmacasıdır. Adını bir Amerikan yarışma programından alır.

• Senaryo: Bir yarışma programındasınız ve önünüzde üç kapalı kapı duruyor. Kapılardan birinin arkasında son model bir araba, diğer ikisinin arkasında ise birer keçi var. Bir kapı seçiyorsunuz (diyelim ki Kapı 1). Henüz kapıyı açmadan, sunucu (Monty Hall) hangi kapının arkasında ne olduğunu bilerek oyuna heyecan katıyor. Sizin seçmediğiniz diğer iki kapıdan (Kapı 2 ve Kapı 3) arkasında keçi olan birini açıyor (diyelim ki Kapı 3’ü açtı ve içinden keçi çıktı).
• Soru: Sunucu size soruyor: “Seçiminizi Kapı 1’de tutmak mı istersiniz, yoksa kararınızı değiştirip Kapı 2’yi mi seçmek istersiniz?” Hangisini yapmak kazanma şansınızı artırır?
• Sezgisel Cevap: Çoğu insan, “Artık iki kapı kaldı, biri araba diğeri keçi. Şansım %50-%50, o yüzden değiştirmemin bir anlamı yok,” diye düşünür.
• Doğru Cevap ve Açıklaması: Kararınızı değiştirmelisiniz. Değiştirmek kazanma şansınızı ikiye katlar!
  • Başlangıçta Kapı 1’i seçtiğinizde, arabayı bulma olasılığınız 1/3, keçiyi bulma olasılığınız ise 2/3’tür.
  • Anahtar nokta: Sunucu asla arabanın olduğu kapıyı açmaz. Onun eylemi rastgele değildir, sizin seçiminize bağlıdır.
  • Senaryo A (2/3 olasılık): Eğer ilk seçiminizde (Kapı 1) bir keçi seçtiyseniz, sunucu mecburen diğer keçinin olduğu kapıyı (Kapı 3) açacaktır. Bu durumda geriye kalan kapı (Kapı 2) %100 arabayı saklar. Kararınızı değiştirirseniz kazanırsınız.
  • Senaryo B (1/3 olasılık): Eğer ilk seçiminizde arabayı bulduysanız, sunucu diğer iki kapıdan birini rastgele açar. Bu durumda kararınızı değiştirirseniz kaybedersiniz.
  • Gördüğünüz gibi, 2/3’lük bir ihtimalle ilk seçiminiz yanlıştı ve bu durumda değiştirmek size arabayı kazandırır. Şansınız 1/3’ten 2/3’e çıkar!

Soru 2: Sanal Rus Ruleti

Wall Street mülakatlarının vazgeçilmezlerinden biri.

• Senaryo: Altı hazneli bir toplu tabancanın iki haznesine ardışık (yan yana) iki mermi yerleştiriliyor. Top rastgele döndürülüyor, size doğrultuluyor ve tetik bir kez çekiliyor. Silah patlamıyor.
• Soru: İkinci kez tetiğe basmadan önce, topu bir kez daha döndürerek mi, yoksa döndürmeden mi ateş ederseniz hayatta kalma (silahın patlamama) olasılığınız daha yüksek olur?
• Sezgisel Cevap: İlk atış boş geldiğine göre geriye beş hazne kaldı, ikisi dolu. Şansım 2/5 gibi görünüyor. Belki döndürmek daha iyidir?
• Doğru Cevap ve Açıklaması: Kesinlikle döndürmeden tetiği çekmelisiniz.
  • Hazneleri [M, M, B, B, B, B] (M: Mermi, B: Boş) olarak düşünelim. İlk atışın boş gelmesi demek, ateşleme iğnesinin dört boş hazneden birine denk geldiği anlamına gelir.
  • Bu dört boş haznenin pozisyonlarını inceleyelim:
    1. Mermilerden hemen sonraki boşluk (…M, M, **B**…): Bir sonraki hazne yine boş.
    2. İkinci boşluk (…M, B, **B**…): Bir sonraki hazne yine boş.
    3. Üçüncü boşluk (…B, B, **B**…): Bir sonraki hazne yine boş.
    4. Mermilerden hemen önceki boşluk (…B, B, **B**, M, M…): Bir sonraki hazne mermi.
  • Yani, ilk atışın boş geldiği 4 olası senaryodan sadece 1 tanesi sizi tehlikeye atar. Bu durumda, döndürmeden tetiği çekerseniz patlama olasılığı 1/4‘tür.
  • Eğer topu tekrar döndürürseniz, elinizdeki tüm bilgiyi sıfırlarsınız. Problem başa döner: 6 hazne, 2 mermi. Patlama olasılığı 2/6 = 1/3 olur.
  • 1/4 (%25), 1/3’ten (~%33) daha düşük bir risk olduğu için döndürmeden çekmek daha güvenlidir.

Soru 3: İki Çocuk Problemi

Bu bulmaca, bilginin nasıl sunulduğunun olasılığı nasıl değiştirdiğinin harika bir örneğidir.

• Senaryo: İki çocuğu olan bir adamla tanışıyorsunuz. Size, “Çocuklarımdan en az biri erkek,” diyor.
• Soru: Bu durumda, adamın iki çocuğunun da erkek olma olasılığı nedir? (Kız ve erkek doğum olasılıklarının eşit olduğunu varsayın.)
• Sezgisel Cevap: Birinin erkek olduğunu biliyoruz. O zaman diğer çocuk ya kızdır ya da erkektir. Öyleyse olasılık 1/2’dir.
• Doğru Cevap ve Açıklaması: Olasılık 1/3‘tür.
  • İki çocuklu bir ailenin tüm olası cinsiyet kombinasyonlarını yazalım (Büyük-Küçük sıralamasıyla):
    1. Kız – Kız
    2. Kız – Erkek
    3. Erkek – Kız
    4. Erkek – Erkek
  • Adamın “en az biri erkek” ifadesi, “Kız – Kız” kombinasyonunu imkansız hale getirir. Bu bilgiyi alarak o seçeneği eliyoruz.
  • Geriye kalan eşit derecede olası üç senaryo: {Kız – Erkek, Erkek – Kız, Erkek – Erkek}.
  • Bu üç olası senaryodan sadece bir tanesi “iki çocuğun da erkek” olduğu durumdur. Bu yüzden olasılık 1/3’tür.

Soru 4: As Var mı, Maça Ası mı Var?

Bir önceki bulmacanın kartlarla oynanan versiyonu. Bilginin ne kadar spesifik olduğu çok önemlidir.

• Senaryo: Arkadaşınız standart 52’lik bir desteden iki kart çekiyor. Kartlara bakıyor ve size iki farklı bilgi veriyor.
  1. Durum A: “Elimde en az bir As var.”
  2. Durum B: “Elimde Maça Ası var.”
• Soru: Her iki durumda da arkadaşınızın elinde iki As birden olma olasılığı nedir?
• Sezgisel Cevap: İki durum da aynı gibi görünüyor. İkisinde de elinde bir As olduğunu biliyoruz, diğer kartın As olma olasılığı aynı olmalı.
• Doğru Cevap ve Açıklaması: Olasılıklar tamamen farklıdır!

• Durum A (“En az bir As var”): Bu durum, İki Çocuk Problemi ile aynı mantığa sahiptir. Olası tüm 2 kartlık eller arasından içinde hiç As olmayanları eliyoruz. Geriye kalan “en az bir As içeren” ellerin içinden “iki As içeren” ellerin oranını bulmamız gerekir. Bu hesap biraz karmaşıktır ama sonuç 1/33‘tür.
• Durum B (“Maça Ası var”): Bu bilgi çok daha spesifiktir. Arkadaşınızın elindeki bir kartın Maça Ası olduğunu kesin olarak biliyoruz. Şimdi sormamız gereken soru şu: Geriye kalan 51 karttan ikincisinin As olma olasılığı nedir? Destede 3 As daha kaldı (Kupa, Karo, Sinek).
• Bu durumda, ikinci kartın da As olma olasılığı 3/51 = 1/17‘dir.
• Gördüğünüz gibi, daha spesifik bilgi (“Maça Ası”) olasılığı önemli ölçüde artırdı (1/17 > 1/33).

Soru 5: Güvenilmez Test

Bu bulmaca, Bayes Teoremi’nin temel mantığını ve gerçek hayattaki uygulamalarını (örneğin tıbbi testler) anlamak için mükemmeldir.

• Senaryo: Nadir görülen bir hastalık, her 1000 kişiden 1’ini etkiliyor. Bu hastalığı tespit etmek için geliştirilen bir test %99 oranında doğru sonuç veriyor. Ancak %1’lik bir “yanlış pozitif” oranı var (yani sağlıklı bir kişiye %1 ihtimalle ‘hastasın’ diyor). Testin “yanlış negatif” vermediğini varsayalım (yani hasta birine her zaman ‘hastasın’ diyor). Rastgele birini seçip test yapıyorsunuz ve sonuç pozitif çıkıyor.
• Soru: Bu kişinin gerçekten hasta olma olasılığı nedir?
• Sezgisel Cevap: Test %99 doğruysa, kişinin hasta olma olasılığı da %99’dur!
• Doğru Cevap ve Açıklaması: Kişinin hasta olma olasılığı sadece %9 civarındadır!
  • Bu tür problemleri çözmenin en kolay yolu, büyük bir popülasyon hayal etmektir. Diyelim ki 100.000 kişilik bir grubumuz var.
  • Gerçekten Hasta Olanlar: 100.000 kişinin 1/1000’i hasta, yani 100 kişi hasta. 99.900 kişi ise sağlıklı.
  • Pozitif Test Sonuçları:
    • Hasta olan 100 kişinin hepsi pozitif sonuç alacaktır (çünkü test %100 doğru teşhis koyuyor hastalara). Bu, 100 “gerçek pozitif” demektir.
    • Sağlıklı olan 99.900 kişinin ise %1’i yanlışlıkla pozitif sonuç alacaktır. 99.900’ün %1’i 999 kişidir. Bunlar “yanlış pozitif” sonuçlardır.
  • Toplamda pozitif sonuç alan kişi sayısı: 100 (gerçek hastalar) + 999 (sağlıklı ama yanlış pozitif alanlar) = 1099 kişi.
  • Size gelen pozitif test sonucu, bu 1099 kişiden birine aittir. Bu 1099 kişiden kaçı gerçekten hastaydı? Sadece 100’ü.
  • Dolayısıyla, test sonucunuz pozitifse, gerçekten hasta olma olasılığınız: 100 / 1099 ≈ 0.091, yani yaklaşık %9.1‘dir.
  • Hastalığın çok nadir olması, sağlıklı insan sayısının çok yüksek olmasına ve dolayısıyla az bir yanlış pozitif oranının bile çok sayıda yanlış sonuca yol açmasına neden olur.

Sonuç

Bu bulmacalar bize önemli bir ders veriyor: Olasılık söz konusu olduğunda, ilk sezgilerimize hemen güvenmemeliyiz. Durumu, verilen tüm bilgileri ve bu bilgilerin olası sonuçları nasıl elediğini veya değiştirdiğini dikkatlice analiz etmek, doğru cevaba ulaşmanın anahtarıdır. Bir dahaki sefere karmaşık bir problemle karşılaştığınızda, bir adım geri atın ve tüm senaryoları kâğıda dökmeyi deneyin. Sonuçlar sizi şaşırtabilir